Curvas de bezier, B-spline, Fractales.

Destacamos este elemento de dibujo de Inkscape ya que las herramientas de dibujo libre que incorporan la mayoría de programas vectoriales se basan en este concepto para el trazado de líneas curvas.

Este tipo de curvas fue desarrollado por Pierre Bézier por encargo de la empresa de automóviles Renault™ que buscaba una representación matemática para definir las transiciones suaves en la curvatura de las líneas de sus automóviles.

Curvas Bézier

Se generan a partir de funciones polinómicas de grado tres[1] que permiten la representación de cualquier forma curvada y evitan la complicación innecesaria de cálculos matemáticos que se produciría usando polinomios de mayor grado.

Cualquier trazado de estas características está definido por una serie de puntos por los que pasa la curva y otros exteriores a ella que definen sus puntos de inflexión, es decir, aquellos en que cambia de curvatura, pasando de cóncava a convexa o viceversa.

Curvas b - spline.

Parábolas C¹ a trozos

Consideremos una curva plana formada por N tramos parabólicos. Tendremos una colección de vértices {c₀,..., c_2N}, en la cual {c₀,c₁,c₂} es el polígono de control del primer tramo, {c₂,c₃,c₄} es el polígono del segundo, {c_2(i-1),c_2i-1,c_2i}, el del i-ésimo, y {c_2N-2,c_2N-1,c_2N}, el del último.

Cada polígono definirá una parametrización en un intervalo. Así el primer tramo estará definido en un intervalo [u₀,u₁], el segundo, en [u₁,u₂], el i-ésimo, en [u_i-1,u_i] y el último, en [u_N-1,u_N].

Si queremos que la curva compuesta sea de clase C¹ en todo el intervalo [u₀,u_N], tal como se estudió en el tema segundo, tendremos que exigir que lo sea para cada valor u = u_i,

Δc2i-1 Δui-1 = Δc2i Δui   ,       i = 1,...,N-1 ,

(1)

es decir, que los vectores c_2i-1c _2i y c_2ic_2 i+1 son paralelos y están en la proporción Δu_i-1:Δu_i.

Las relaciones (1) no se mantienen si permitimos al usuario modificar todos los vértices. Por tanto, si queremos mantener la clase de diferenciabilidad, sólo deberemos ofrecerle los vértices que no afecten a dicha condición.

Con esta idea en mente, podemos ver (1) como la definición del vértice c_2i, conocidos los vértices c_2i-1, c_2i+1,

c2i = Δui Δui-1+Δui c2i-1+ Δui-1 Δui-1+Δui c2i+1   ,

(2)

que refleja el hecho de que la razón simple de los puntos c_2i-1, c_2i, c_2i+1 es precisamente [c_2i-1,c_2i,c_2i+1] = Δu_i-1/Δu_i.

En resumen, los únicos datos de la curva que debemos facilitar al usuario para que los modifique libremente, sin alterar la condición de suavidad, son los nudos de la partición del intervalo, {u₀,..., u_N} y los vértices de los polígonos de control {c₀,c₁,...,c_2i-1,..., c_2N-1,c_2N}, es decir, un total de N+2 vértices, como corresponde al hecho de que tenemos 2N+1 vértices y N-1 condiciones de diferenciabilidad en las uniones. Ejemplo

Adelantando notación posterior, denotaremos como {d₀,...,d_N+1} estos vértices,

d0: = c0  ,       di: = c2i-1 , i = 1,..., N  ,       dN+1: = c2N  .

(3)

A este conjunto de vértices lo denominaremos polígono B-spline de la curva polinómica a trozos.

Esta construcción de la curva de clase C¹ parabólica a trozos se puede emplear para interpolar una curva de clase C¹ entre N+1 puntos del plano, a₀,...,a_N, por los que sabemos que pasa para valores conocidos del parámetro u, a_i = c(u_i). El problema se reduce a resolver el sistema de ecuaciones c_2i = a_i,

a0 = d0 ai =   Δui Δui-1+Δui di+ Δui-1 Δui-1+Δui di+1  ,    i = 1,...,N-1 aN = dN+1  , (4)

que es un sistema indeterminado, ya que consta, una vez eliminadas las dos ecuaciones triviales, de N-1 ecuaciones lineales para N incógnitas, los vértices d₁,...,d_N. Nos haría falta un dato adicional aparte de los valores x_i: = (Δu_i-1+Δu_i) a_i. Lo cual nos lleva a tener que fijar, por ejemplo, una tangente en uno de los tramos. Esta sería una solución un tanto asimétrica del problema.

Si la curva es cerrada, c₀ = c_2N+2, todo vértice par se obtiene a partir de los impares adyacentes por la relación (2) y sólo es preciso facilitar estos últimos, {c₁,...,c_2i-1,...,c_2N+1}. El vértice inicial-final se obtiene como caso particular,

c0 = c2N+2 = Δu0 ΔuN+Δu0 c2N+1+ ΔuN ΔuN+Δu0 c1 c2N =   ΔuN-1 ΔuN-1+ΔuN c2N+1+ ΔuN ΔuN-1+ΔuN c2N-1  . (5)

Curvas Fractales.

Antes del desarrollo de la geometría fractal, las propiedades de estos objetos ya habían sido puestas de manifiesto. Durante un estudio sobre líneas fronterizas [2], Lewis F. Richardson observó que la longitud de éstas aumenta en función del grado de precisión con el que se realiza la medida. Como con cualquier curva, el procedimiento de medida de la frontera consiste en aproximar la curva por medio de un camino poligonal con lados de longitud

Al evaluar la longitud de la curva poligonal, haciendo que → 0, se espera 2.Representación gráfica del conjunto de Mandelbrot y detalle. que la estimación de la longitud se aproxime a un límite. Sin embargo, una frontera o una línea de costa no es el tipo de curva estudiada normalmente en matemáticas. Aunque es una curva continua, no posee la “suavidad” necesaria para que pueda ser derivable. De hecho, a medida que aumentamos la resolución, surgen más entrantes y salientes, como bahías y cabos, por lo que la longitud a aproximar aumenta, y la longitud total a estimar parece aumentar sin límites L( ) → ∞. Los fractales son objetos matemáticos cuya principal peculiaridad es el ser auto-similares, es decir, que a cualquier escala se puede observar la misma estructura. . Los fractales tienen, por lo tanto una cantidad infinita de detalle. A medida que aumentamos la resolución obtenemos más detalles, de la misma forma que sucede en el problema del cálculo de longitudes de líneas de costa. En la figura 2 se muestra la representación gráfica del conjunto de Mandelbrot, descubierto por Mandelbrot en 1980. Éste genera una imagen curiosa, cuya popularización es responsable del desarrollo de la ciencia fractal. En ella se puede observar la propiedad de auto-similitud. Al observar un detalle se puede reconocer una estructura similar a la global. En principio esta auto-similitud es infinita, pero sólo en el caso de los fractales matemáticos. Los fractales naturales sólo presentan un número finito de “niveles” auto-similares. Además, aunque parecidos no poseen una semejanza totalmente exacta. A esta propiedad de invarianza estadística del escalado se le denomina auto-similitud estadística.

Al evaluar la longitud de la curva poligonal, haciendo que → 0, se espera 2 Figura 2: Representación gráfica del conjunto de Mandelbrot y detalle. que la estimación de la longitud se aproxime a un límite. Sin embargo, una frontera o una línea de costa no es el tipo de curva estudiada normalmente en matemáticas. Aunque es una curva continua, no posee la “suavidad” necesaria para que pueda ser derivable. De hecho, a medida que aumentamos la resolución, surgen más entrantes y salientes, como bahías y cabos, por lo que la longitud a aproximar aumenta, y la longitud total a estimar parece aumentar sin límites L( ) → ∞. Los fractales son objetos matemáticos cuya principal peculiaridad es el ser auto-similares, es decir, que a cualquier escala se puede observar la misma estructura. . Los fractales tienen, por lo tanto una cantidad infinita de detalle. A medida que aumentamos la resolución obtenemos más detalles, de la misma forma que sucede en el problema del cálculo de longitudes de líneas de costa. En la figura 2 se muestra la representación gráfica del conjunto de Mandelbrot, descubierto por Mandelbrot en 1980. Éste genera una imagen curiosa, cuya popularización es responsable del desarrollo de la ciencia fractal. En ella se puede observar la propiedad de auto-similitud. Al observar un detalle se puede reconocer una estructura similar a la global. En principio esta auto-similitud es infinita, pero sólo en el caso de los fractales matemáticos. Los fractales naturales sólo presentan un número finito de “niveles” auto-similares. Además, aunque parecidos no poseen una semejanza totalmente exacta. A esta propiedad de invarianza estadística del escalado se le denomina auto-similitud estadística.